The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

p(0) → 0
p(s(x)) → x
plus(x, 0) → x
plus(0, y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0, y) → 0
times(s(0), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0, y) → 0
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0, s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0, 0) → true
eq(s(x), 0) → false
eq(0, s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0)) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0)), plus(zero(0), 0), s(plus(0, zero(0))))

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
plus(s(x), y) →⁺ s(plus(x, y))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [x / s(x)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
plus, times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < zero
times < div
times < divides
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
eq < divides
divides = pr
divides = if
pr = if

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < zero
times < div
times < divides
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
eq < divides
divides = pr
divides = if
pr = if

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(0)) →_R^Ω(1)
gen_0':s:true:false2_0(a)

Induction Step:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(plus(gen_0':s:true:false2_0(a), p(s(gen_0':s:true:false2_0(n4_0))))) →_R^Ω(1)
s(plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0))) →_IH
s(gen_0':s:true:false2_0(+(a, c5_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < div
times < divides
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
eq < divides
divides = pr
divides = if
pr = if

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

Induction Base:
times(gen_0':s:true:false2_0(0), gen_0':s:true:false2_0(b)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
times(gen_0':s:true:false2_0(+(n983_0, 1)), gen_0':s:true:false2_0(b)) →_R^Ω(1)
plus(gen_0':s:true:false2_0(b), times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b))) →_IH
plus(gen_0':s:true:false2_0(b), gen_0':s:true:false2_0(*(c984_0, b))) →_L^{Ω(1 + b·n983₀)}
gen_0':s:true:false2_0(+(*(n983_0, b), b))

We have rt ∈ Ω(n³) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n³).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
eq, div, quot, zero, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
eq < divides
divides = pr
divides = if
pr = if

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)

Induction Base:
eq(gen_0':s:true:false2_0(0), gen_0':s:true:false2_0(0)) →_R^Ω(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s:true:false2_0(+(n2234_0, 1)), gen_0':s:true:false2_0(+(n2234_0, 1))) →_R^Ω(1)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) →_IH
true

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
quot, div, zero, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
zero = divides
zero = pr
zero = if
divides = pr
divides = if
pr = if

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Induction Base:
quot(gen_0':s:true:false2_0(0), gen_0':s:true:false2_0(0), gen_0':s:true:false2_0(1)) →_R^Ω(1)
s(div(gen_0':s:true:false2_0(0), s(gen_0':s:true:false2_0(0)))) →_R^Ω(1)
s(0')

Induction Step:
quot(gen_0':s:true:false2_0(+(n2877_0, 1)), gen_0':s:true:false2_0(+(n2877_0, 1)), gen_0':s:true:false2_0(1)) →_R^Ω(1)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) →_IH
gen_0':s:true:false2_0(1)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
div, zero, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
zero = divides
zero = pr
zero = if
divides = pr
divides = if
pr = if

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol div.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
zero, divides, pr, if

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
zero = divides
zero = pr
zero = if
divides = pr
divides = if
pr = if

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol zero.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
if, divides, pr

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
zero = divides
zero = pr
zero = if
divides = pr
divides = if
pr = if

(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol if.

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
pr, divides

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
zero = divides
zero = pr
zero = if
divides = pr
divides = if
pr = if

(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol pr.

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
divides

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
zero = divides
zero = pr
zero = if
divides = pr
divides = if
pr = if

(29) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol divides.

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

(32) BOUNDS(n^3, INF)

(33) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)
quot(gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(n2877_0), gen_0':s:true:false2_0(1)) → gen_0':s:true:false2_0(1), rt ∈ Ω(1 + n2877₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

(35) BOUNDS(n^3, INF)

(36) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)
eq(gen_0':s:true:false2_0(n2234_0), gen_0':s:true:false2_0(n2234_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n2234₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

(38) BOUNDS(n^3, INF)

(39) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(40) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
times(gen_0':s:true:false2_0(n983_0), gen_0':s:true:false2_0(b)) → gen_0':s:true:false2_0(*(n983_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b·n983₀² + n983₀)

(41) BOUNDS(n^3, INF)

(42) Obligation:

TRS:
Rules:
p(0') → 0'
p(s(x)) → x
plus(x, 0') → x
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
plus(s(x), y) → s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) → s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) → 0'
times(s(0'), y) → y
times(s(x), y) → plus(y, times(x, y))
div(0', y) → 0'
div(x, y) → quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) → 0'
quot(s(x), s(y), z) → quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) → s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) → div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') → true
eq(s(x), 0') → false
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
divides(y, x) → eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) → pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) → true
pr(x, s(s(y))) → if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) → false
if(false, x, y) → pr(x, y)
zero(div(x, x)) → x
zero(divides(x, x)) → x
zero(times(x, x)) → x
zero(quot(x, x, x)) → x
zero(s(x)) → if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

Types:
p :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
0' :: 0':s:true:false
s :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
plus :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
times :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
div :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
quot :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
zero :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
eq :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
true :: 0':s:true:false
false :: 0':s:true:false
divides :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
prime :: 0':s:true:false → 0':s:true:false
pr :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
if :: 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false → 0':s:true:false
hole_0':s:true:false1_0 :: 0':s:true:false
gen_0':s:true:false2_0 :: Nat → 0':s:true:false

Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(43) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
plus(gen_0':s:true:false2_0(a), gen_0':s:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:true:false2_0(+(n4_0, a)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(44) BOUNDS(n^1, INF)